gamma分布密度函数

Gamma分布（伽马分布）是统计学中的一种连续概率分布，其概率密度函数形式如下：

1. 标准形式

当随机变量 $X$ 服从参数为 $\alpha$（形状参数，$\alpha > 0$）和 $\beta$（尺度参数，$\beta > 0$）的Gamma分布时，概率密度函数 $f(x;\alpha,\beta)$ 为：

$f(x;\alpha,\beta)=\frac{\beta^{\alpha}x^{\alpha - 1}e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha)}, \quad x > 0$

其中 $\Gamma(\alpha)$ 是Gamma函数，定义为：

$\Gamma(\alpha)=\int_{0}^{\infty}t^{\alpha - 1}e^{-t}dt$

Gamma函数具有性质 $\Gamma(n)=(n - 1)!$，当 $n$ 为正整数时。例如，$\Gamma(1)=1$，$\Gamma(2)=1!$ $= 1$，$\Gamma(3)=2!$ $= 2$ 等等。

2. 特殊情况

当 $\beta = 1$ 时：此时概率密度函数简化为 $f(x;\alpha,1)=\frac{x^{\alpha - 1}e^{-x}}{\Gamma(\alpha)}$，这是Gamma分布的一种常用特殊形式，称为标准Gamma分布。

Gamma分布在许多领域都有广泛应用，例如在可靠性理论中用于描述产品的寿命分布，在排队论中用于分析服务时间等 。