排列组合cn和an公式的区别

你想问的应该是排列数公式 $A_{n}^m$ 与组合数公式 $C_{n}^m$ 的区别。下面从定义、计算公式、应用场景三个方面为你详细介绍：

定义

排列数 $A_{n}^m$（现在教材也常用 $P_{n}^m$ 表示）：从 $n$ 个不同元素中取出 $m$（$m\leq n$）个元素的所有排列的个数，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的排列数。排列是讲究顺序的，不同的顺序视为不同的排列。

组合数 $C_{n}^m$： 从 $n$ 个不同元素中取出 $m$（$m\leq n$）个元素的所有组合的个数，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的组合数。组合不考虑元素的顺序，只要元素相同就视为同一个组合。

计算公式

排列数公式：$A_{n}^m = \frac{n!}{(n - m)!}=n\times(n - 1)\times(n - 2)\times\cdots\times(n - m + 1)$ 。例如 $A_{5}^3=\frac{5!}{(5 - 3)!}=\frac{5!}{2!}=5×4×3 = 60$。

组合数公式：$C_{n}^m=\frac{n!}{m!(n - m)!}=\frac{n\times(n - 1)\times(n - 2)\times\cdots\times(n - m + 1)}{m!}$ 。例如 $C_{5}^3 = \frac{5!}{3!(5 - 3)!}=\frac{5×4×3!}{3!×2×1}= 10$ 。

应用场景

排列数应用场景：当问题涉及到元素顺序时，使用排列数公式。比如安排人员排队、安排节目顺序、电话号码的排列等问题。例如，将 5 个人排成一排照相，不同的排法种数就是 $A_{5}^5 = 5!=120$ 种，因为不同的人站在不同位置是不同的排列情况。

组合数应用场景：当问题只关心选取的元素组合，而不关心元素顺序时，使用组合数公式。比如从若干人中选几个人参加某项活动、从一批产品中抽取几个样本等问题。例如，从 10 名学生中选 3 名学生参加比赛，不考虑选出学生的先后顺序，选法种数就是 $C_{10}^3=\frac{10!}{3!(10 - 3)!} = 120$ 种 。